3-1-2 三角形の面積を２等分せよ〜その２〜

(1)

　［問題１］では、面積比を底辺比に帰着させることで、うまく解くことができた。

では、この方法が一番よいのだろうか。次の問題を考えてみることにする。

　この問題では、底辺比が使えない。どうしたらいいだろうか。

　底辺ABは（２，０）が中点になるので、おそらく線分BC上に

直線が交わるだろうと想像できる。

（逐次試行：手探りの状態）

　　線分BCと原点を通る直線（とする）との交点をＰ（Ｘ，Ｙ）

とおくと＜未知のもの＞であるは、

・・・（※）

とおける。

　

　　　　　　　「補助要素を導入できないか」

この問題では、底辺がx軸に沿っているので、垂線（＝高さ）を引きやすい。

高さはy座標から、Yであることがわかる。

　上図のように精神状位の中にデータ「O(原点)」が増えた。

△OPBの面積は分かりそうだ。

（ただし、この問題特有のものである。

より一般性のある解法は・・ということはあとで触れる）

　同様に、頂点Cから垂線を下ろすことで、

△ABCの面積も求めることができる。

　従って、あとは△OPBと△ABCの比を求めれば

よいことになる。

　　△OPB，△ABCの面積は、それぞれ

　　

　　　

　　であるから、△ABC=2△OPB　より

24＝2×3×Y

　　　　　　　　　∴Y=4

　このあとは、線分BC上に点P(X,Y)=(X,4)があることからXを求め、

（※）の式に(X, Y)を代入すれば直線の式は求まる。

　(2) ［問題1］では、直線は頂点Ｃを通っており、本例［問題2］では、直線が三角形の頂点を

通ることがない。［問題2］は、［問題1］をより一般化したものである。

　しかし、［問題2］を決定的に解きやすくしていた要因は、直線が原点で底辺と交わっていたこと、

そして底辺がx軸と重なっていたことである。この２題は、問題のもつ特殊性に気づくことで、より

易しく解くことができた。ただし、［問題1］を（ここで使われた）［問題2］の解法で解くことも、

［問題2］を［問題１］の解法で解くこともできない。

　では、より一般性のある解法を考えてみよう。